[Ос В.]

Наверное действительно идиотский вопрос

Вопрос про математику и признаки делимости.
В математике существуют такие штуки, как признаки делимости, которые позволяют узнать, делится ли число без остатка на некоторое другое число сразу, не выполняя деления (я как о них узнал, так сразу и охуел). Например, таким образом можно узнать, делится ли число на 2 (четное-нечетное), 3, 4, 5 и 9.
Однако, сказал я себе, это же работает в десятичной системе исчиления, а что в других? Тут я попытался напрячь свои способности, но я гумонетарий, поэтому успехи мои были незначительны.
Поэтому хотелось бы узнать
1) зависят ли признаки делимости от используемой системы исчисления? (у меня получилось, что вроде зависят)
2) если вдруг знаете в каких системах исчисления работают какие признаки или, обоже, универсальное правило их применения, скажите.
3) и если зависят, то в какой системе исчисления этих признаков работает больше всего?
Ну и кто этим занимался, в каком году и т.д.

За ответ сойдет "где читать", и даже "у кого спросить". )))

@темы: Наука

Comments

[ylygylygynda]

я гумонетарий

YOU MADE MY DAY

[Ос В.]

Я нарочно выделил неполноту своих знаний (:

[Anonim53]

По сабжу, признак делимости на двойку будет работать в любой системе счисления с четным основанием, то есть в восьмиричной, двенадцатиричной и т.д. Также в любой системе счисления с четным основанием существует признак аналогичный пятерке в десятичной, только не для пятерки, а для половины основания. То есть в шестнадцатиричной системе число делится на восемь, если оно заканчивается на восемь или на ноль. Про четверку признак я не помню, а про 3ку м 9ку надо с бумажкой подумать, если хотите завтра нюне с мобильного напишу, если до меня никто не ответит.

[alba-longa]

Ос В.
Можете тут спросить. Есть другое сообщество, посвященное нестандартным задачам, но оно какое-то полумертвое, а там точно кто-нибудь ответит =)

з.ы.: все-таки система счисления

[Anonim53]

О, без бумажки придумала. Признаки аналогичные 3ке и 9ке существуют во всех системах счислениях и соответствуют делителям основания минус один. То есть в одиннадцатиречной системе число делится на два, пять и десять, если сумма цифр числе делится на два, пять или десять соответственно (основание: 11 - 1 = 10 = 2*5)

Если что этим занималась я, только что, в трамвае.

[Вентурис]

Ос В. у меня получилось, что признаки делимости на 3 и 9 работают в системах, где (n-1) делится на 3 или 9, n- основание. То есть 19-ричная система бы подошла. Вместо признаков делимости на 5 и 10 были бы признаки делимости на n и n/2 (если n четное).

[Anonim53]

Вентурис,

[Ос В.]

Спасибо большое!

Тройка вроде работает там, где есть цифра три (то есть, в двоичной работать не будет, а в остальных будет), если я не путаю. И девятка тогда должна так же, наверное.

[Вентурис]

Anonim53 А я как-то не сразу сообразил, что все делители n-1 годятся. Спасибо.

[Anonim53]

Ну и соответственно чем больше делителей у основания минус один, тем больше подобных признаков в системе

[Вентурис]

Anonim53 И, наверное, делителей n- тоже.
Где-то были еще признаки для 7 и 11, но я не помню.

[Ос В.]

Чуваки и чувихи, спасибо вам большое ))

все-таки система счисления

Я хохол, поэтому лажаю иногда) Буду знать )

[Anonim53]

Вентурис, нет, для делителей n не работает. Допустим, у на 30чная система, тогда по идее должно быть аналогичное правило для тройки, число 32 переходит в этой системе в 12, сумма цифр =3, но на 3 число не делится. Так что нет, не работает. Зато правило аналогичное 5ке (последняя цифра делится - все число делится) обобщается до всех делителей основания)) то есть в 30чной системе работает и для 2, и для 3, и для 5, и для 6, и для 10, и для 15

[Вентурис]

Anonim53 А я имел в виду, что правило для делителей n работает по последней цифре, а не по сумме всех разрядов. Для n-1- по сумме цифр.

[Anonim53]

Вентурис, а ну тогда, да)) сорри, не поняла сначала.

[Фереште]

Для 5-чной системы 2 и 4 — тоже самое, что для 10-чной 3 и 9. Если сумма цифр числа делится на 2 для системы с нечётным основанием, то это число делится на 2.

[maskarad pluton]

Ос В. Блин, вы мне мозг сломали! (гуманитарий, который с цифрами особо не дружит. А приходится! )

[Ос В.]

Это же охуенно. То есть, в 19чной системе по сумме цифр можно узнать делимость на 3, 9 и 6, т.к. все они являются делителями числа 18 (19-1)?

А с делением на 2 в степени n? В десятичной, получается, делимость на 2 проверяется по последней цифре, на 4 по последним двум, на 8 по трем и т.д.
А что соответствует этому в других системах?

[Trotil]

ссылка

Куча признаков деления.
Их можно доказать для системы счисления 10, а затем распространить для системы счисления N.

Два примера:
1) 3,9 - сумма цифр. Пусть x = a0 + a1*10 + a2*10^2 + ...
(a0+a1+a2 + ...) + a1*9 + a2*99 + ... = x
Если x делится на 3,9, то и сумма цифр будет тоже делиться на 3,9.

Отсюда для произвольного N:
(a0+a1+a2 + ...) + a1*(N-1) + a2*(N^2-1) + a3*(N^3-1) = x
Можно доказать, что N^k-1 делится на N-1.
Поэтому все делители (N-1) будут попадать под этот признак.

2) 2,5 - по последней цифре, 4,25,50, - по последним двум цифрам...
Тут еще проще: для последней цифры a0 + 10(a1 + a2*10 + a3*10^2...). a0 д.б. делителем 10.
Или a0+a1*10 + 100(a2+10a^3+...) - две последние цифры (a0+a1*10) д.б. делителем 100
Очевидно, как его распространить на случай N.

И так можно по многим признакам посчитать.
В качестве разминки, попробуйте обобщить признак деления на 11 на произвольную систему счисления.